Ehkki kõver näeb välja sama, mis erineb Cauchy ja Gaussi jaotusest?


Vastus 1:

Cauchy ei näe välja nagu tavaline. Kuidas Cauchy täpselt välja näeb, sõltub teie kasutatavatest parameetritest, kuid see ei tundu normaalne.

nt

set.seed (1234) #Seeb juhusliku arvu seemne x1 <- rcauchy (1000, 0, 1) x2 <- rnorm (1000, keskmine (x1), sd (x1)) graafik (tihedus (x1)) graafik (tihedus) (x2))

Ära vaata üldse sama. Ja x1 on vahemikus -178 kuni 702, x2 aga vahemikus -76 kuni 71.


Vastus 2:

Nagu näete, näevad kaks kõverat välja sarnased, kuna neil mõlemal on üks "põrumine" ja nad on väiksema laiusega, mida kaugemale jõuate. Need on erinevad selle poolest, et cauchy's on kitsam tipp ja see jaotub aeglasemalt - võrreldes normaaljaotusega on palju suurem tõenäosus tippudest kaugel olevate väärtuste saamiseks. Sellel erinevusel on matemaatiliselt palju erinevaid tagajärgi - näiteks kui cauchy'l pole täpselt määratletud keskmist väärtust ja sellel on omapärane valimijaotus, kus „suurte arvude seadust“ ei kohaldata.


Vastus 3:

Ehkki kõver näeb välja sama, mis erineb Cauchy ja Gaussi jaotusest?

Pealiskaudselt näevad nad välja sarnased. Kuid näidake mulle jaotuse tihedusfunktsiooni graafikut ja öelge, et see on kas Cauchy või Gaussian, ma teaksin, kumb (eeldades, et see oli tõepoolest üks neist). Cauchyl on palju pikemad sabad.

Kui meil on tundmatute parameetritega jaotuste perekond, tahame neid parameetreid hinnata.

  • Gaussi jaotusel on kaks parameetrit, keskmine ja standardhälve. Võiksime selle asemel kasutada muid parameetreid, näiteks mediaan (mis võrdub keskmisega) ja poolkvartsi vahemik (mis on umbes
  • 0.67450.6745
  • korda suurem kui standardhälve) .Cauchy jaotuse keskmist väärtust ei eksisteeri, kuid mediaan on sümmeetria kese. Ka standardhälvet ei eksisteeri, kuid mediaanist ruutkeskmiste kõrvalekallete keskmine on lõpmatu.

Nii et see on peamine erinevus. Võime võtta, et kummagi jaotuse parameetrid on mediaan- ja poolkvartalide vahemikud, kuid me ei saa kasutada keskmist ja standardhälvet cauchy jaoks, kuna neid pole olemas.

Kui võtame valimi, mis aitab meil hinnata jaotuse parameetreid, arvutame statistika, näiteks valimi väärtuste keskmise ja standardhälbe. Sellel statistikal on jaotused. Valimisstatistika jaotust nimetatakse selle valimi jaotuseks.

  • Kui populatsiooni jaotus on Gauss, on ka valimi keskmine (valimi jaotus) Gauss ja on palju väiksema standardhälbega, seega annab suur valim täpsemaid hinnanguid kui lihtsalt ühe vaatluse tegemine.Kui jaotus on Cauchy, Proovide keskmisel on ka Cauchy jaotus, kuid sellel on täpselt sama mediaan ja pool-kvartiilne vahemik kui algsel jaotusel. Proovi keskmise võtmisest pole kasu.

Nii et see on teine ​​erinevus. Gaussi proovist saadud keskmise väärtus on kasulik keskmise (või mediaani) hindamiseks; cauchy valimi keskmine on mediaani hindamiseks kasutu. Parem on kasutada valimi mediaani, mis annab täpsemad hinnangud.

Sarnased argumendid kehtivad kummagi jaotuse leviku hindamiseks (vaatamata sellele, kas te seda määratlete). Gaussi jaotuse tavalised hinnangud ei toimi Cauchy jaotuse korral.

Tegelik erinevus on tiheduse matemaatilises valemis. Standardvormis on Gaussi tihedus

12πe12z2\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12z^2}

ja cauchy'l on tihedus

1π(1+z2)\frac1{\pi(1+z^2)}

.

Pange tähele, et need kaks

zz

s on erinevad. Esimesel juhul on standardhälve

11

, teisel juhul on ülemine kvartiil

11

.

Jaotusfunktsioon (tõenäosus, et

ZzZ\le z

) pole Gaussi jaotuse jaoks kena suletud vormi, kuid see on nii Cauchy puhul

1πtan1(z)\frac1{\pi}\tan^{-1}(z)

.

Kui soovite erinevuste nägemiseks graafiliselt jaotada samade telgede jaotusi, peaksite vastama parameetritele. Nii et ma standardiseeriksin Gaussi keele nii, et alumine ja ülemine kvartiil oleks

0.6745-0.6745

ja

0.67450.6745

, st muuta standardhälve võrdseks

1.48261.4826

ja kasutage kohviku jaoks standardset vormi. Graafikute all olevad alad peaksid olema võrdsed, nii et keskpunkti kõrgused tuleks sobivalt skaleerida (

0.2690.269

Gaussi ja

0.3180.318

cauchy puhul - cauchy on keskelt kõrgem ja sabadest kõrgem).